试题

如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．

证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，

BD=CD ∠BDF=∠CDM DF=DM

∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；

方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
在△ADC和△MDB中，

BD=CD ∠BDM=∠CDA DM=DA

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，
∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF，
∴BF=AC．
证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，

BD=CD ∠BDF=∠CDM DF=DM

∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；

方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
在△ADC和△MDB中，

BD=CD ∠BDM=∠CDA DM=DA

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，
∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF，
∴BF=AC．