试题

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=1，求AD的长．

（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE AD=BD ∠ADC=∠BDF=90°

，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=1，
在Rt△CDF中，CF=

DF2+CD2

=

2

，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=

2

，
∴AD=AF+DF=1+

2

．
（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE AD=BD ∠ADC=∠BDF=90°

，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=1，
在Rt△CDF中，CF=

DF2+CD2

=

2

，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=

2

，
∴AD=AF+DF=1+

2

．