试题

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）发现与证明：
发现：①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：．
②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：．
证明：请你选择上述两个发现中的任意一个加以证明，选择①、②证明的满分分别为4分和6分．（注意：证明前要注明选择了哪一个发现）
（2）引申与运用：
引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），△ABE与△ADG的面积关系是：．
运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是cm²．
证明：我选择进行证明．

解：（1）发现：①当E点旋转到DA的延长线上时，BC⊥ED，
∴S_△ABE=

1

2

AE·AB，S_△ADG=

1

2

AG·AD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△ABE与△ADG的面积关系是：相等；（1分）

②当E点旋转到CB的延长线上时，△ABE与△ADG的面积关系是：相等．（1分）
证明：我选择②进行证明，
过B点作BM⊥AE于M，过D点作DN⊥GA交GA的延长线于N，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∵∠BAN+∠DAN=∠MAB+∠BAN=90°，
∴∠MAB=∠DAN，
又∵AB=AD，
∴在△AMB与△AND中，

∠AMB=∠AND=90° ∠MAB=∠DAN AB=AD

，
∴△AMB≌△AND（AAS），
∴BM=DN，
∵S_△ABE=

1

2

×AE×BM，S_△ADG=

1

2

×AG×DN，
∴S_△ABE=S_△ADG；
（证明过程共（6分），如选择①证明，给4分）

（2）引申与运用：
引申：△ABE与△ADG的面积关系是：相等．（2分）
运用：根据前面结论有：S_△AEN=S_△BFM=S_△DCG=S_△ABC，
∴图中阴影部分的面积=3S_△ABC，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴当AB⊥BC时，△ABC面积最大，最大值是

1

2

×AB×BC=

1

2

×5×3=7.5，
∴图中阴影部分的面积和的最大值是：7.5×3=22.5cm²．（2分）