试题

已知，如图，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，连BD交AC于点P，猜想：点P是哪些线段的中点？请选择其中一个结论证明．

解：P为AC的中点，P为EF的中点，P为BD的中点，
选择P为BD的中点，理由如下：
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△AFB和Rt△CED中，
∵

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△AFB≌Rt△CED（HL），
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
在△ABP和△CDP中，
∵

∠A=∠C AB=CD ∠ABP=∠CDP

，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴BP=DP，即P为BD的中点．
解：P为AC的中点，P为EF的中点，P为BD的中点，
选择P为BD的中点，理由如下：
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△AFB和Rt△CED中，
∵

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△AFB≌Rt△CED（HL），
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
在△ABP和△CDP中，
∵

∠A=∠C AB=CD ∠ABP=∠CDP

，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴BP=DP，即P为BD的中点．