试题

如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，使BF=AC，在CE的延长线取一点G，使CG=AB．试说明：①AF=AG；②AG⊥AF．

解：①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABF+∠BAD=90°∠GCA+∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠GCA，
在△ABF和△GCA中，

AB=CG ∠ABF=∠GCA BF=AC

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG．

②∵△ABF≌△GCA，
∴∠GAC=∠AFB，
∵∠AFB=∠ADB+∠FAD，∠GAC=∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF=∠ADF，
∵∠ADF=90°，
∴∠GAF=90°，
∴AG⊥AF．
解：①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABF+∠BAD=90°∠GCA+∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠GCA，
在△ABF和△GCA中，

AB=CG ∠ABF=∠GCA BF=AC

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG．

②∵△ABF≌△GCA，
∴∠GAC=∠AFB，
∵∠AFB=∠ADB+∠FAD，∠GAC=∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF=∠ADF，
∵∠ADF=90°，
∴∠GAF=90°，
∴AG⊥AF．