试题

如图，在等边△ABC中，BF是高，D是BF上一点，且OF=AF，作OE⊥BF，垂足为D，且OE=OB，连AE、AO、BE，求证：
（1）AB=AE；
（2）AE⊥BC； 
（3）AO⊥BE．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵BF⊥AC，
∴AF=FC，∠AFB=90°，
∴OA=OC，
∴∠COF=∠AOF
∵∠AFB=90°，AF=OF，
∴∠OAF=∠AOF=45°，
∴∠COF=45°，
∴∠AOC=90°=∠BOE，
∵∠EOC=∠EOC，
∴∠AOE=∠COB，
在△AOE和△COB中，

OE=OB ∠AOE=∠COB OA=OC

，
∴△AOE≌△COB（SAS），
∴AE=BC=AB，
即AB=AE．

（2）设AE、BC交于M，
∵△AOE≌△COB，
∴∠CBO=∠AEO，
∵OB⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∴∠CBO+∠BNO=90°，
∵∠CBO=∠AEO，∠BNO=∠ENM，
∴∠AEO+∠ENM=90°，
∴∠EMN=180°-（∠AEO+∠ENM）=90°，
∴AE⊥BC．

（3）∵AB=AE，OB=OE，
∴A在BE垂直平分线上，O在BE垂直平分线上，
∴AO是BE的垂直平分线，
即AO⊥BE．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵BF⊥AC，
∴AF=FC，∠AFB=90°，
∴OA=OC，
∴∠COF=∠AOF
∵∠AFB=90°，AF=OF，
∴∠OAF=∠AOF=45°，
∴∠COF=45°，
∴∠AOC=90°=∠BOE，
∵∠EOC=∠EOC，
∴∠AOE=∠COB，
在△AOE和△COB中，

OE=OB ∠AOE=∠COB OA=OC

，
∴△AOE≌△COB（SAS），
∴AE=BC=AB，
即AB=AE．

（2）设AE、BC交于M，
∵△AOE≌△COB，
∴∠CBO=∠AEO，
∵OB⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∴∠CBO+∠BNO=90°，
∵∠CBO=∠AEO，∠BNO=∠ENM，
∴∠AEO+∠ENM=90°，
∴∠EMN=180°-（∠AEO+∠ENM）=90°，
∴AE⊥BC．

（3）∵AB=AE，OB=OE，
∴A在BE垂直平分线上，O在BE垂直平分线上，
∴AO是BE的垂直平分线，
即AO⊥BE．