试题

题目：
设a，b，c，d都是正数，且S=
a
a+b+d
+
b
a+b+c
+
c
b+c+d
+
d
a+c+d
，求证：S的值在两个连续的自然数之间．
答案
解：∵a，b，c，d都为正数．
∴S=
a
a+b+d
+
b
a+b+c
+
c
b+c+d
＞
a
a+b+c+d
+
b
a+b+c+d
+
c
a+b+c+d
+
d
a+b+c+d
=1
又
a
a+b+d
+
b
a+b+c
+
c
b+c+d
+
d
a+c+d
＜
a+c
a+b+c+d
+
b+d
a+b+c+d
+
c+a
a+b+c+d
+
d+b
a+b+c+d
=
2(a+b+c+d)
a+b+c+d
=2
∴1＜S＜2
解：∵a，b，c，d都为正数．
∴S=
a
a+b+d
+
b
a+b+c
+
c
b+c+d
＞
a
a+b+c+d
+
b
a+b+c+d
+
c
a+b+c+d
+
d
a+b+c+d
=1
又
a
a+b+d
+
b
a+b+c
+
c
b+c+d
+
d
a+c+d
＜
a+c
a+b+c+d
+
b+d
a+b+c+d
+
c+a
a+b+c+d
+
d+b
a+b+c+d
=
2(a+b+c+d)
a+b+c+d
=2
∴1＜S＜2
考点梳理
推理与论证．
可根据分式的计算特点，a，b，c，d又都是正数：
a
a+b+c+d
＜
a
a+b+d
＜
a+c
a+b+c+d
，其他代数式也可满足这些特点．
本题考查对分式计算的能力和灵活运用不等式的能力．
证明题．
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