试题

如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E．
（1）若∠B=35°，∠C=75°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=α，∠C=β，且0°＜α＜β＜90°，试探究下列问题：
①∠DAE=（用含α、β的代数式表示）；
②若点P为射线AD上任意一点（除点A、点D外），过点P作PQ⊥BC，垂足为Q（请在图2、图3中将图形补充完整），请用含α、β的代数式表示∠DPQ并说明理由．

解：（1）∵∠B=35°，∠C=75°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=35°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=75°，
∴∠EAC=90°-75°=15°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-15°=20°；

（2）①∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=（180-α-β）°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180-α-β）°=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵∠C=β，
∴∠EAC=90°-β，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=（90°-

1

2

α-

1

2

β）-（90°-β）=

1

2

β-

1

2

α，
故答案为：

1

2

β-

1

2

α；

②
如图，∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×（180°-α-β）=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-β-（90°-

1

2

α-

1

2

β）=90°-

1

2

β+

1

2

α，
∴∠QDP=∠ADC=90°-

1

2

β+

1

2

α，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQD=90°，
∴∠DPQ=90°-∠PDQ
=90°-（90°-

1

2

β+

1

2

α）
=

1

2

β-

1

2

α，
即∠DPQ=

1

2

β-

1

2

α．