试题

如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求证：∠E=

1

2

∠A．
（2）若BE、CE是△ABC两外角平分线且交于点E，则∠E与∠A又有什么关系？

（1）证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠3=

1

2

（∠A+∠ABC）．
又∵∠4=∠E+∠2，
∴∠E+∠2=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=

1

2

∠ABC，
∴

1

2

∠ABC+∠E=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠E=

1

2

∠A；

（2）如图2所示，
∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2=

1

2

∠CBD，∠4=

1

2

∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=

1

2

（∠A+∠ACB），∠4=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=180°，即∠E+

1

2

∠A+

1

2

（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+

1

2

∠A=90°．
（1）证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠3=

1

2

（∠A+∠ABC）．
又∵∠4=∠E+∠2，
∴∠E+∠2=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=

1

2

∠ABC，
∴

1

2

∠ABC+∠E=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠E=

1

2

∠A；

（2）如图2所示，
∵BE、CE是两外角的平分线，
∴∠2=

1

2

∠CBD，∠4=

1

2

∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=

1

2

（∠A+∠ACB），∠4=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=180°，即∠E+

1

2

∠A+

1

2

（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+

1

2

∠A=90°．