试题

题目：
青果学院（2009·金华模拟）如图△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC分别为在D，E．则下列判断：①BD=CD；②BD=DE；③AE=DE；④△ABC为锐角三角形．其中正确的判断有（　　）



答案
C
青果学院解：连接AD，则∠ADB=90°；
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；
∴BD=CD；故①正确．
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠CED=∠B；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∴∠DEC=∠C，即DE=CD=BD．
故②正确．
根据线段AC与圆的位置关系，从点E的位置情况可分别讨论，得到∠A一定是锐角，可得④成立．
由∠A是锐角，∠B=∠C，因此④成立；
若AE=DE，则AE=BD=DE，即D、E是弧AB的三等分点．
此时∠A=∠B=60°，即△ABC为等边三角形；
由于没有条件能够证明△ABC是等边三角形，因此③不成立．
故本题正确的结论为①②④．
故选C．
考点梳理
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．
连接AD，由圆周角定理可求得AD⊥BC；△ABC中，根据等腰三角形三线合一的特点，即可求得BD=CD；因此①的结论正确．
根据圆内接四边形的性质，可求得∠DEC=∠B；在等腰△ABC中，∠B=∠C，因此∠DEC=∠C，由此可证得②的结论正确．
③成立的前提条件为D、E是半圆AB的三等分点，此时△ABC是等边三角形，显然此种情况是不一定成立的．
根据线段AC与圆的位置关系，从点E的位置情况可分别讨论，得到∠A一定是锐角，可得④成立．
故本题正确的结论为①②④．
此题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质．
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