试题

题目：
青果学院（1997·福州）已知：如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的
3
倍，C为弧AB的中点．AB、OC相交于P点，求证：四边形OACB是菱形．
答案
证明：∵C为
AB
的中点，OC为半径，
∴PA=PB，AB⊥OC，
∵AP=
1
2
AB=
3
2
AO，
∴OP=
AO2-AP2
=
AO2-
3
4
AO2
=
1
2
OA=
1
2
OC，
∴PC=
1
2
OC，即OP=PC，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵AB⊥OC，
∴四边形OACB是菱形．
证明：∵C为
AB
的中点，OC为半径，
∴PA=PB，AB⊥OC，
∵AP=
1
2
AB=
3
2
AO，
∴OP=
AO2-AP2
=
AO2-
3
4
AO2
=
1
2
OA=
1
2
OC，
∴PC=
1
2
OC，即OP=PC，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵AB⊥OC，
∴四边形OACB是菱形．
考点梳理
垂径定理；勾股定理；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系．
由C为弧AB的中点，OC为半径，利用垂径定理的逆定理得到PA=PB，OC垂直于AB，由AP为AB的一半，根据题中条件用AO表示出AP，在直角三角形AOP中，利用勾股定理表示出OP，进而确定出OP=PC，即四边形ACBO对角线互相平分，可得出此四边形为平行四边形，再由对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证．
此题考查了垂径定理，勾股定理，菱形的判定，以及平行四边形的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
证明题．
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