试题

（2008·广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且

BC

=

DE

．
（1）求证：AC=AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．

证明：（1）作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．

∵

BC

=

DE

，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．

（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC=

1

2

∠MCE=

1

2

∠CEN．
因此EF平分∠CEN．
证明：（1）作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．

∵

BC

=

DE

，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．

（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC=

1

2

∠MCE=

1

2

∠CEN．
因此EF平分∠CEN．