试题

题目：
青果学院已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是
AB
的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：CD=AE=BF．
答案
青果学院解：连接AC、BD，
∵C，D是
AB
的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=
180°-30°
2
=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF．
青果学院解：连接AC、BD，
∵C，D是
AB
的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=
180°-30°
2
=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF．
考点梳理
圆心角、弧、弦的关系．
由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AC=AE=BF．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识的综合应用能力．
证明题．
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