试题

题目：
青果学院图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（　　）



答案
D
解：∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC=2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC·AB-（S半圆AD+S半圆BC-S）=S，即2AB-π·12+S=S，青果学院
∴AB=
π
2
．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OP=
1
2
AB=
π
4
，
∴EP=
OE2-OP2
=
12-(
π
4
)2
=
16-π2
4
，
∴EF=2EP=
16-π2
2
．
故选D．
考点梳理
垂径定理的应用．
由题意得到四边形ABCD为矩形，BC=2，再根据中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，得到BC·AB-（S半圆AD+S半圆BC-S）=S，即2AB-π·12+S=S，可求出AB=
π
2
，则OP=
1
2
AB=
π
4
，在Rt△OEP中，利用勾股定理可计算出EP，即可得到两圆的公共弦长EF．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
计算题．
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