试题

如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．
（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；
（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．

解：（1）垂直．
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠BCD=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE与CF互相垂直．

（2）∵∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
在△FBE和△CBE中，
∵

∠CBE=∠FBE BE=BE ∠BEC=∠BEF

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC，EF=EC，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠AFE，
∵∠FEA=∠CED，
∴△DCE≌△AFE，
∴DC=AF，
∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，
∴BF=BC=7．
解：（1）垂直．
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠BCD=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴∠CEB=90°，
∴BE与CF互相垂直．

（2）∵∠CEB=90°，
∴∠FEB=90°，
在△FBE和△CBE中，
∵

∠CBE=∠FBE BE=BE ∠BEC=∠BEF

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC，EF=EC，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠AFE，
∵∠FEA=∠CED，
∴△DCE≌△AFE，
∴DC=AF，
∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，
∴BF=BC=7．