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如图：在△ABC中，BC=2AB=4，AD为边BC上的中线，E、F分别为BC、AB上的动点，且CE=BF，EF与AD交于点G．FH⊥AG于H
（1）①如图1，当∠B=90°时，FG==EG；GH=2 ．2
②如图2，当∠B=60°时，FG==EG；GH=11．
③如图3，当∠B=α时，FG==EG；GH=
AD1 2 ．
AD1 2
请你先填上空，再从以上三个命题中任选择一个进行证明
（2）如图4，若（1）中的点E、F分别在BC、AB的延长线上，试问（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
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将一副三角板，按下列要求摆放：
（1）如图1．固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC，点O为垂足，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合．现让三角板DEF绕点O旋转，保证DF，DE分别交AB、AC于点M、N．试探求AN：BM的值．
（2）交换两块三角板的位置（如图2）．固定直角三角板ABC，AO⊥BC，点O为垂足，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D于点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，AN：BM的值又会如何变化？
（3）通过上述操作与探求，试想如果将三角板换成任意直角三角形，那么AN：BM的值有规律可循吗？
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ=88．
（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．
（图2，图3供解题用）
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在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．
（1）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y与x间函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ -
在等腰Rt△ABC中，AC=BC，点E在BC上，以AE为边作正方形AEMN，EM交AB于F，连接BM．
（1）求证：BM⊥AB；
（2）若CE=2BE，求
的值．AE EF -
如图，在△ABC中，点D为AC上一点，延长AB至点E，连结DE，使∠ABC=∠ADE．
求证：AB·AE=AC·AD． -
已知：如图，在菱形ABC中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=DF，AE与BD交于点M，AF与BD交于点N．
（1）求证：∠BAF=∠DAE；
（2）若AD=5，DF=3，求：
的值．BM BD -
已知：正方形ABCD中，点F为边CD的中点，DF=3，连接AF并延长，与BC的延长线交于G点．
（1）连接BF（如图1），在不添加任何辅助线的条件下，请找出所有相似的三角形，并选择其中的一对加以证明；
（2）E是边CB上一动点，连接EF，M为AD上任意一点，且MF⊥EF，连接ME（如图2）．若△MEF与△ADF相似，求EB的长．
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已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF·BE=2S的理由．
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如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，D、E都在直线BC上，并且∠DAE=120°
（1）设BD=x，CE=y，求y与x直间的函数关系式；
（2）在上题中一共有几对相似三角形，分别指出来（不必证明）
（3）改变原题的条件为AB=AC=2，∠BAC=β，∠DAE=α，α、β之间要满足什么样的关系，能使（1）中y与x的关系式仍然成立？说明理由．