数学
如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为正方形,E点在x轴的正半轴上运动,点F在CB
边上,且∠OAE=∠FAE
在图①中,E点在OC边上,
CE=
1
2
OC
,若延长AE、BC相交于点H,由∠OAE=∠FAE和AO∥BC,易知∠FAE=∠H,得AF=HF;由于E为OC中点,AO∥BC,可得△AOE≌△HCE,有AO=CH,又因AO=OC,可得CH=OC,所以有AF=CF+OC
(1)若E点在OC边上,
CE=
1
3
OC
,(如图②)请探索AF、FC、OC三条线段之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)若E点在OC边上,
CE=
1
n
OC
(n是大于1的整数),请直接写出AF、FC、OC之间的数量关系(不要求证明);
(3)若A点的坐标为(0,6),E点在x轴的正半轴上运动,点F在直线CB上,且∠OAE=∠FAE;当AF和CF相差2个单位长度时,试求出此时E点的坐标.
在四边形ABCD中,E是AD上一点,且BE∥CD,AB∥CE,△ABE的面积记为S
1
,△BEC的面积记为S
2
,△DEC的
面积记为S
3
.
(1)试判断△ABE与△ECD是否相似,并说明理由.
(2)当S
1
=6,S
3
=3时,求S
2
的值.
(3)猜想S
1
,S
2
,S
3
之间的等量关系.
如图,一次函数y=kx+b(k不为0)的图象与x轴和y轴交于A、B两点
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)通过观察图象,写出不等式kx+b<0的解集是什么?
(3)在x轴的正半轴上是否存在点P,使△AOB和△POB相似?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,DE:BC=1:3.若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度在射线BC上运动.当点F运动时间t>0时,直线FD与过点A且平行于BC
的直线相交于点G,射线GE与射线BC相交于点H. AB与GH相交于点O.请解答下列问题:
(1)设△AEG的面积为S,写出S与t的函数关系式;
(2)当t为多少秒时,AB⊥GH;
(3)求△GFH的面积.
如图△ABC中,D、E是AC上的三等分点,过D、E作DF∥AB,EH∥AB分别交BC于F、H,连AH交DF于K.
(1)求
KD
HE
的值;
(2)求
KD
KF
的值;
(3)求
S
△AKD
S
四边形KDEH
的值.
如图,ABCD是平行四边形,点E在边BC延长线上,连AE交CD于点F,如果∠EAC=∠D.试证明:AC·BE=AE·CD.
如图所示,已知正方形ABCD边长为4,点M、N分别在边BC、CD上(点M、N都不与点B、C、D重合),且AM⊥MN.
(1)求证:Rt△ABM∽Rt△MCN;
(2)求证:△AMN不可能是等腰直角三角形;
(3)探究:当BM取何值时,以A,M,N为顶点的三角形与△ABM相似?并说明理由.
如图,正方形ABCD在边长为5cm,用一块三角板,使它的一直角边始终经过点A,直角顶点E在BC上移动,另一直角边交CD于点F,如果BE=xcm,CF=ycm.试用x的代数式表示y(不需要写出x的范围)
如图,Rt△ABC中,∠BAC=Rt∠,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能达到点B、C),过D作∠
ADE=45°,DE交AC于E.
(1)试说明:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,请建立y与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
(3)如果△ADE是等腰三角形时,你能否求出AE的长,如果能请把它求出来.
如图,在Rt△ABC中,AB=BC=24厘米,点D从点A开始沿边AB以2厘米/秒的速度向点B移动,移动过程中始终保持DE∥BC,DF∥AC,设点D移动的时间为x秒,四边形DFCE的面积为y厘米
2
.
(1)写出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当点D运动多长时间时,四边形DFCE的面积最大?
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