数学

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（2011·峨山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=x是第一、三象限的角平分线．
（1）观察与探究：
由图易知：A（0，2）关于直线L的对称点A′的坐标为（2，0）；B（5，3）关于直线L的对称点B′的坐标为（3，5）；请在图中标出C（-6，1）关于直线L的对称点C′的位置，并写出它的坐标：C′

；
（2）归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线L的对称点P′的坐标为

（不必证明）；
（3）运用与拓广：已知两点M（3，-2）、N（-1，-4），试在直线L上确定一点Q，使点Q到M、N两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

（2009·昌平区一模）请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．

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请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，直接写出

的最小值．

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如图，已知△ABC和直线l．
（1）请你作出与△ABC关于直线l对称的△A′B′C′．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你在直线l上找到一点P，使得AP+BP最短．

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按要求完成作图：
①作出△ABC关于y轴对称的△AB₁C₁；
②在x轴上找出点P，使PA+PB最小，并写出P点的坐标．

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如图，△ABC在平面直角坐标系中A（1，3），B（-4，1），C（-3，-2），以x轴为对称轴作对称变换，画出△A₁B₁C₁，同时在x轴上找一点P，使P到A、B两点距离和最小？

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已知平面直角坐标系中有A（-2，1），B（2，3）两点．
（1）在x轴上找一点M，使MA+MB最小，并求出点M的坐标；
（2）在x轴上找一点N，使得△ABN为等腰三角形，并通过画图说明使△ABN为等腰三角形的点N有多少个？

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平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分别为A（-2，3）、B（1，2），点P为x轴上一动点，当P到A、B两点的距离之和最小时，求点P的坐标．

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（1）已知：图1中，点M、N在直线l的同侧，在l上求作一点P，使得PM+PN的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）图2中，联结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是

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平面直角坐标系与线段和的最值问题：
（1）已知点M（3，2），N（1，-1），点P在y轴上，求使得△PMN的周长最小的点P的坐标；
（2）等腰梯形ABCD放置在如图所示的直角平面坐标系中，已知CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=

，直线AC交y轴于E，动点P在线段EC上运动，求点P到y轴的距离与点P到点N（2，6）的距离之和的最小值，并求出此时的点P的坐标．

已知点A（0，2）、B（4，0），点C、D分别在直线x=1与x=2上，且CD∥x轴，则AC+CD+DB的最小值为

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