试题

（2011·天津）如图所示，某桥梁工程部门在一次工程作业中，利用汽车将重为G，高为h₀的柱形实心铁块，从水深为h₁的河底竖直打捞上来．汽车速度为υ，且保持恒定．水的密度为ρ₀，铁的密度为ρ₁．不计滑轮的摩擦和绳重，不考虑水的阻力和物体排开水的体积对水面高度的影响．请完成下列有关分析和计算．
（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值；
（2）推导出自铁块上表面与水面相平升至整体刚露出水面的过程中，绳子的拉力随时间变化的关系式（从铁块上表面与水面相平时开始计时）
（3）在图中，定性画出铁块自河底升至滑轮处的过程中，绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象．

解：（1）当铁块浸没水中时，受到水的浮力最大，
∵G=ρ₁v_铁g，
铁块的体积：
v_铁=

G

ρ1g

，
当铁块浸没水中，排开水的体积：
v_排=v_铁=

G

ρ1g

，
此时受到水的浮力：
F_浮=ρ₀v_排g=ρ₀

G

ρ1g

g=

ρ0

ρ1

G；
（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时，
铁块上升的高度（露出的高度）：
△h=vt，
排开水的体积：
v_排′=

h0-△h

h0

×

G

ρ1g

，
此时受到水的浮力：
F_浮′=ρ₀v_排′g=ρ₀

h0-△h

h0

×

G

ρ1g

g=

h0-vt

h0

×

ρ0G

ρ1

；
绳子的拉力：
F′=G-F_浮′
=G-

h0-vt

h0

×

ρ0G

ρ1

=G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t；
（3）铁块浸没在水中，拉力：
F₁=G-F_浮=G-

ρ0

ρ1

G，
拉力功率：
P₁=F₁v=（G-

ρ0

ρ1

G）v，
铁块从露出水面到全露出，拉力：
F₂=G-F_浮′
=G-

h0-vt

h0

×

ρ0G

ρ1

；
=G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t，
拉力功率：
P₂=F₂v=（G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t）v=（G-

ρ0

ρ1

G）v+

ρ0Gv

ρ1h0

vt，
全露出水面后的拉力大小：
F₃=G，
拉力功率：
P₃=F₃v=Gv，
绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如右图所示．
答：（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值为

ρ0

ρ1

G；
（2）绳子的拉力随时间变化的关系式为F=G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t；
（3）绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如图所示．
解：（1）当铁块浸没水中时，受到水的浮力最大，
∵G=ρ₁v_铁g，
铁块的体积：
v_铁=

G

ρ1g

，
当铁块浸没水中，排开水的体积：
v_排=v_铁=

G

ρ1g

，
此时受到水的浮力：
F_浮=ρ₀v_排g=ρ₀

G

ρ1g

g=

ρ0

ρ1

G；
（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时，
铁块上升的高度（露出的高度）：
△h=vt，
排开水的体积：
v_排′=

h0-△h

h0

×

G

ρ1g

，
此时受到水的浮力：
F_浮′=ρ₀v_排′g=ρ₀

h0-△h

h0

×

G

ρ1g

g=

h0-vt

h0

×

ρ0G

ρ1

；
绳子的拉力：
F′=G-F_浮′
=G-

h0-vt

h0

×

ρ0G

ρ1

=G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t；
（3）铁块浸没在水中，拉力：
F₁=G-F_浮=G-

ρ0

ρ1

G，
拉力功率：
P₁=F₁v=（G-

ρ0

ρ1

G）v，
铁块从露出水面到全露出，拉力：
F₂=G-F_浮′
=G-

h0-vt

h0

×

ρ0G

ρ1

；
=G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t，
拉力功率：
P₂=F₂v=（G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t）v=（G-

ρ0

ρ1

G）v+

ρ0Gv

ρ1h0

vt，
全露出水面后的拉力大小：
F₃=G，
拉力功率：
P₃=F₃v=Gv，
绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如右图所示．
答：（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值为

ρ0

ρ1

G；
（2）绳子的拉力随时间变化的关系式为F=G-

ρ0

ρ1

G+

ρ0Gv

ρ1h0

t；
（3）绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如图所示．