试题

如图所示，一根细绳悬挂一个半径为r米、质量为m千克的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为ρ千克/米³，高度为H米，大气压强为p₀帕，已知球体的体积公式是V=4πr³/3，球面积公式是S_球=4πr²，圆面积公式是S_圆=πr²．则液体对半球的压力为牛．若要把半球从水中拉起，则至少要用牛的竖直向上的拉力．

解：（1）假设半球下表面处全部为液体，
则半球受到的浮力F_浮方向竖直向上，由阿基米德原理可知，
F_浮=ρgV_排=ρgV_半球=ρg×

1

2

×

4

3

πr³=

2

3

ρgπr³；
半球表面各处所受液体压力的分布如图所示，
半球上表面受到的液体压力F_上竖直向下，
∵P=

F

S

，∴F=PS，半球下表面受到的液体压力：
F_下=P_下S_圆=P_液S_圆=ρgH×πr²，方向竖直向上，
半球受到的浮力F_浮等于半球下表面与上表面所受液体对它的压力合力，
即：F_浮=F_下-F_上，F_上=F_下-F_浮=πr²ρgH-

2

3

ρgπr³，
在本题给出的条件中，半球底部与容器底部紧密接触，即半球的下表面处并不与液体接触，
但这并不改变半球上表面受液体压力作用的情况，则液体对半球的压力仍为F_上=πr²ρgH-

2

3

ρgπr³；
（2）半球刚要被拉起时，容器底板对半球的下表面已无向上的支持力，
则竖直向上的拉力F_拉至少要等于上述的F_上与半球本身的重力之和，
即：F_拉=F_上+mg=πr²ρgH-

2

3

ρgπr³+mg+p₀πr²．
故答案为：πr²ρgH-

2

3

ρgπr³；πr²ρgH-

2

3

ρgπr³+mg+p₀πr²．