试题

让液体在管道中流动，液体可以看作是由片液层组成的，各片液层之间存在着摩擦，产生液体内部的阻力，这就是液体的粘滞性．小王用长度相同的细管来研究液体的粘滞性，在温度相同的情况下，通过实验测得1s内通过细管的液体体积如下：

实验序号	液体种类	细管半径/mm	细管两端压强差	通过细管的液体体积/mm3
1	水	1	P	100
2	油	1	P	2
3	水	2	P	1600
4	油	2	P	32
5	水	3	P	8100
6	水	1	2P	200
7	水	1	3P	300

（1）在小王用油做的实验中，若细管的半径是3mm，1s内通过细管的油的体积是40.5mm³，则细管两端的压强差是多少？
（2）由于液体的粘滞性，使得在流体中运动的物体要受到流体阻力，在一般情况下，半径为R的小球以速度v运动时，所受的液体阻力可用公式f=6πηRv表示．一个密度为ρ、半径为R的小球，在密度为ρ₀、粘滞系数为η的液体中由静止自由下落时的v-t图象如图所示，请推导出速度v_r的数学表达式．

解：
（1）设细管半径为amm，细管两端压强差为b，通过细管的液体体积为cmm³，则根据表中数据有以下规律：
对水来说：a⁴×b×100=c
对油来说：a⁴×b×2=c
因此可以得出油细管两端的压强差的关系式是b=

c

a4×2

，
将当细管半径是a=3mm，1s内通过细管的油的体积是c=40.5mm³，代入得b=

P

4

．
（2）小球受到的重力：G=mg=ρVg=4³πR³ρg；
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=4³πR³ρ₀g；
小球所受流体阻力：f=6πηRv．
由图象可知，当小球速度达到vr时便匀速下落，处于平衡状态，此时小球所受合力为零，则G=F_浮+f．
即：

4

3

πR³ρg=

4

3

πR³ρ₀g+6πηRvr．
化简可得：v_r=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

                                
故答案为：
（1）

P

4

，
（2）

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．
解：
（1）设细管半径为amm，细管两端压强差为b，通过细管的液体体积为cmm³，则根据表中数据有以下规律：
对水来说：a⁴×b×100=c
对油来说：a⁴×b×2=c
因此可以得出油细管两端的压强差的关系式是b=

c

a4×2

，
将当细管半径是a=3mm，1s内通过细管的油的体积是c=40.5mm³，代入得b=

P

4

．
（2）小球受到的重力：G=mg=ρVg=4³πR³ρg；
小球所受浮力：F_浮=ρ₀Vg=4³πR³ρ₀g；
小球所受流体阻力：f=6πηRv．
由图象可知，当小球速度达到vr时便匀速下落，处于平衡状态，此时小球所受合力为零，则G=F_浮+f．
即：

4

3

πR³ρg=

4

3

πR³ρ₀g+6πηRvr．
化简可得：v_r=

2R2g(ρ-ρ0)

9η

                                
故答案为：
（1）

P

4

，
（2）

2R2g(ρ-ρ0)

9η

．