试题

（2006·徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=

1

4

S，△D₁E₁F₁的面积S₁=

1

4

S．
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=；若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=．

解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD₂=

1

3

AB，BE₂=

1

3

BC，CF2=

1

3

AC
∴AF₂=

2

3

AC，BD₂=

2

3

AB
∴AD₂=BE₂，AF₂=BD₂（2分）
△AD₂F₂≌△BE₂D₂（3分）
∴D₂E₂=F₂D₂
同理可证△AD₂F₂≌△CF₂E₂
F₂D₂=E₂F₂（4分）
∴D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂
∴△D₂E₂F₂为等边三角形；（5分）
②S2=

2

9

S；（6分）
S′₂=S-

2

9

S×3=

1

3

S（7分）

（2）由（1）可知：△D_nE_nF_n等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：S2=

2

9

S，S₃=

3

16

S，…Sn=

n

(n+1)2

S；（9分）
S₂′=

1

3

S，S₃′=

7

16

S…Sn′=

n2-n+1

n2+2n+1

S．（10分）