试题

题目：
（2011·香坊区模拟）△ABC中，AC=4，AD是∠BAC的平分线，BD=2，AD的垂直平分线EF交直线BC于点F，交AD于点E，交AC于M，AF=6，则AM=
8
5
或
16
7
8
5
或
16
7
．
答案
8
5
或
16
7

青果学院解：连接DM，设AM=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，DM=AM=x，
∴DF=AF=6，BD=2，
∴BF=6-2=4
∴∠DAF=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAF=∠C，
∴△ACF∽△BAF，
∴
AF
BF
=
FC
AF
，
∴AF2=BF·CF，
即36=4CF，
解得CF=9，
∴CD=3，
∵∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADM，
∴DM∥BA，
∴
AM
AC
=
BD
BC
，
即
x
4
=
2
5
，
解得x=
8
5

∴AM=
8
5



连接DM，设AM=x，青果学院
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，DM=AM=x，
∵AF=6，∴DF=AF=6，
∴∠DAF=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠CAF，
∴△ACF∽△BAF，
∴
AF
BF
=
FC
AF
，
∴AF2=BF·CF，
即36=（2+6）·CF，
解得CF=
9
2
，
∵∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADM，
∴DM∥BA，
∴
AM
AC
=
BD
BC
，
即
x
4
=
2
2+6-
9
2
，
解得x=
16
7

∴AM=
16
7
．
故答案为
8
5
或
16
7
．
考点梳理
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
分两种情况：点F在BC的反向延长线上和延长线上；先证明△ACF∽△BAF，可求出CF，再证明DM∥BA，由平行线分线段成比例定理可得出AM的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．还考查了三角形角平分线的性质以及等边三角形的判定和性质．
计算题；分类讨论．
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