试题

题目：
青果学院我们知道，任何一个三角形三个内角的和是180°，如图，△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°．
（1）请画出∠ABC和∠ACB的角平分线，交点是D．
（2）若∠BAC=x度，请用x的代数式表示出∠BDC的度数，并简单说明理由．
（3）若∠BAC和∠BDC互补，求x的值．
答案
青果学院解：（1）如图所示；

（2）∠BDC=90°+
x
2
．
理由如下：由三角形内角和180°得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线的交点是D，
∴∠DBC+∠DCB=
1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180°-∠A），
在△BCD中，
∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-
1
2
（180°-∠A）=90°+
1
2
∠A，
∵∠BAC=x，
∴∠BDC=90°+
x
2
；

（3）由题得，90°+
x
2
+x=180°，
解得，x=60°．
青果学院解：（1）如图所示；

（2）∠BDC=90°+
x
2
．
理由如下：由三角形内角和180°得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线的交点是D，
∴∠DBC+∠DCB=
1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180°-∠A），
在△BCD中，
∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-
1
2
（180°-∠A）=90°+
1
2
∠A，
∵∠BAC=x，
∴∠BDC=90°+
x
2
；

（3）由题得，90°+
x
2
+x=180°，
解得，x=60°．
考点梳理
三角形内角和定理；余角和补角；作图—基本作图．
（1）用量角器作出两个角的角平分线即可；
（2）根据三角形的内角和定理表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠DBC+∠DCB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）根据互为补角的两个角的和等于180°列出方程求解即可．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
整体思想．
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