试题

题目：
（2006·沈阳）如图，在⊙O中，
BC
=
BD
，点M是
CD
上任意一点，弦CD与弦BM交于点F，连接MC，MD，BD．
（1）请你在图中过点B作⊙O的切线AE，并证明AE∥CD；
（不写作法，作图允许使用三角板）
（2）求证：MC·MD=MF·MB；
（3）如图，若点M是
BC
上任意一点（不与点B，点C重合），弦BM，DC的青果学院延长线交于点F，连接MC，MD，BD，则结论MC·MD=MF·MB是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
答案
青果学院解：（1）如图，正确作出切线．
证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠DMB．
∵
BC
=
BD
，
∴∠CDB=∠DMB．
∴∠DBE=∠CDB．
∴AE∥CD．

（2）证明：∵
BC
=
BD
，
∴∠CMF=∠BMD．
又∵∠MCF=∠MBD，
∴△MCF∽△MBD．
∴
MC
MB
=
MF
MD
．
∴MC·MD=MF·MB．

（3）成立．
证明：∵四边形BDCM是⊙O的内接四边形，
∴∠FCM=∠DBM，∠FMC=∠BDC．
∵
BC
=
BD
，
∴∠BDC=∠DMB．
∴∠FMC=∠DMB．
∴△MCF∽△MBD．
∴
MC
MB
=
MF
MD
．
∴MC·MD=MF·MB．
青果学院解：（1）如图，正确作出切线．
证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠DMB．
∵
BC
=
BD
，
∴∠CDB=∠DMB．
∴∠DBE=∠CDB．
∴AE∥CD．

（2）证明：∵
BC
=
BD
，
∴∠CMF=∠BMD．
又∵∠MCF=∠MBD，
∴△MCF∽△MBD．
∴
MC
MB
=
MF
MD
．
∴MC·MD=MF·MB．

（3）成立．
证明：∵四边形BDCM是⊙O的内接四边形，
∴∠FCM=∠DBM，∠FMC=∠BDC．
∵
BC
=
BD
，
∴∠BDC=∠DMB．
∴∠FMC=∠DMB．
∴△MCF∽△MBD．
∴
MC
MB
=
MF
MD
．
∴MC·MD=MF·MB．
考点梳理
切线的性质；作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．
（1）当作出切线AE后，弦切角DBE和弧BD（弧BC）∠BMC相等，又∠BMC和∠BDC为同弧所对的圆周角，所以有∠DBE=∠BMC=∠BDC，所以AE∥CD；
（2）因为∠DBM和∠DCM为同弧所对的圆周角，所以相等，又∠BMD和∠BMC为等弧所对的圆周角，所以相等，即△MCF∽△MBD则有MC·MD=MF·MB；
（3）四边形BDCM是⊙O的内接四边形，所以有∠FMC=∠BDC，∠FCM=∠B，又因为∠BDC和∠BMD为等弧所对的圆周角，所以相等，两组对应角相等，所以相似．
此题主要考查了圆中等弧同弧所对的圆周角相等这一性质，以及相似的判定，难易程度适中．
综合题；压轴题；动点型．
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