试题

（2005·河北）图1至图7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）．侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况．当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）．设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）．
（1）在区域MNCD内，请你针对图1，图2，图3，图4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
（2）只考虑在区域ABCD内开成的盲区．设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）．
①如图5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式；
②如图6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式；
③如图7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；
④根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况．
（3）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题（3）是额外加分，加分幅度为1～4分）．

解：（1）在P视点看不见的列车后的区域就是盲区，也就是过P和列车的两端的射线交CD于两点，这两点和列车两端构成的梯形就是所指的盲区．如图1的梯形AA₁D₁D，图2的梯形A₂B₂C₂D₂，图3的梯形B₃BCC₃．
（2）①如图1，当5≤t≤10时，盲区是梯形AA₁D₁D
∵O是PQ中点，且OA∥QD，
∴A₁，A分别是PD₁和PD中点
∴A₁A是△PD1D的中位线．
又∵A₁A=t-5，∴D₁D=2（t-5）
而梯形AA₁D₁D的高OQ=10，
∴y=

1

2

[（t-5）+2（t-5）]×10=15t-75
∴y=15t-75．
②如图2，当10≤t≤15时，盲区是梯形A₂B₂C₂D₂，
易知A₂B₂是△PC₂D₂的中位线，且A₂B₂=5，
∴C₂D₂=10
又∵梯形A₂B₂C₂D₂的高OQ=10，
∴y=

1

2

（5+10）×10=75
∴y=75．
③如图3，当15≤t≤20时，盲区是梯形B₃BCC₃
易知BB₃是△PCC₃的中位线
且BB₃=5-（t-15）=20-t
又∵梯形B₃BCC₃的高OQ=10，
∴y=

1

2

[（20-t）+2（20-t）]×10=300-15t
∴y=300-15t．
④当5≤t≤10时，由一次函数y=15t-75的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75；
当10≤t≤15时，盲区的面积y为定值75；
当15≤t≤20时，由一次函数y=300-15t的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0．（12分）

（3）通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是：
①在0≤t≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75；
②在10≤t≤15时段内，盲区的面积为定值75；
③在15≤t≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0．
解：（1）在P视点看不见的列车后的区域就是盲区，也就是过P和列车的两端的射线交CD于两点，这两点和列车两端构成的梯形就是所指的盲区．如图1的梯形AA₁D₁D，图2的梯形A₂B₂C₂D₂，图3的梯形B₃BCC₃．
（2）①如图1，当5≤t≤10时，盲区是梯形AA₁D₁D
∵O是PQ中点，且OA∥QD，
∴A₁，A分别是PD₁和PD中点
∴A₁A是△PD1D的中位线．
又∵A₁A=t-5，∴D₁D=2（t-5）
而梯形AA₁D₁D的高OQ=10，
∴y=

1

2

[（t-5）+2（t-5）]×10=15t-75
∴y=15t-75．
②如图2，当10≤t≤15时，盲区是梯形A₂B₂C₂D₂，
易知A₂B₂是△PC₂D₂的中位线，且A₂B₂=5，
∴C₂D₂=10
又∵梯形A₂B₂C₂D₂的高OQ=10，
∴y=

1

2

（5+10）×10=75
∴y=75．
③如图3，当15≤t≤20时，盲区是梯形B₃BCC₃
易知BB₃是△PCC₃的中位线
且BB₃=5-（t-15）=20-t
又∵梯形B₃BCC₃的高OQ=10，
∴y=

1

2

[（20-t）+2（20-t）]×10=300-15t
∴y=300-15t．
④当5≤t≤10时，由一次函数y=15t-75的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75；
当10≤t≤15时，盲区的面积y为定值75；
当15≤t≤20时，由一次函数y=300-15t的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0．（12分）

（3）通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是：
①在0≤t≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75；
②在10≤t≤15时段内，盲区的面积为定值75；
③在15≤t≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0．