试题

阅读材料，解答问题．
已知：锐角△ABC，如图，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上．
作法：（1）画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D₁、E₁、F₁、G₁（如图所示）；
（2）连接BF，并延长交AC于点F；
（3）过点F作EF⊥BC于点E；
（4）过F作FG∥BC，交AB于点G；
（5）过点G作GD⊥BC于点D；则四边形DEFG即为所求作的正方形．
问题：（1）说明上述所求作四边形DEFG为正方形的理由．
（2）在△ABC中，如果BC=120，BC边上的高为80，求上述正方形DEFG的边长．
（3）若把（2）中的正方形DEFG改为矩形DEFG，且GF=

1

2

DG，其他条件不变，此时，GF是多少？

解：（1）证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D₁E₁F₁G₁是正方形，
∴E₁F₁=F₁G₁，F₁G₁∥BC，
∴

F1G1

FG

=

BF1

BF

=

E1F1

EF

，
∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；

（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为正方形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴

AN

AM

=

FG

BC

，
设正方形DEFG的边长为x，
则AM=80，AN=80-x，
即

80-x

80

=

x

120

，
解得：x=48，
∴正方形DEFG的边长为48；

（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为矩形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴

AN

AM

=

FG

BC

，
∵GF=

1

2

DG，
设GF=x，则DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
即

80-2x

80

=

x

120

，
解得：x=30，
∴GF=30．
解：（1）证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D₁E₁F₁G₁是正方形，
∴E₁F₁=F₁G₁，F₁G₁∥BC，
∴

F1G1

FG

=

BF1

BF

=

E1F1

EF

，
∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；

（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为正方形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴

AN

AM

=

FG

BC

，
设正方形DEFG的边长为x，
则AM=80，AN=80-x，
即

80-x

80

=

x

120

，
解得：x=48，
∴正方形DEFG的边长为48；

（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为矩形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴

AN

AM

=

FG

BC

，
∵GF=

1

2

DG，
设GF=x，则DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
即

80-2x

80

=

x

120

，
解得：x=30，
∴GF=30．