试题

题目：
青果学院已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为-1，3；②abc＞0；③2a+b=0；④4a+2b+c＞0；⑤5a+2c＞b中正确的有
①③④
①③④
．（填写正确的序号）
答案
①③④

解：∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（-1，0），
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为-1，3，选项①正确；
∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，
∴a＜0，-
b
2a
=1，整理得：b=-2a，即2a+b=0，选项③正确，c＞0，
∴a＜0，b＞0，c＞0，即abc＜0，选项②错误；
又x=2时，对应的函数值大于0，
∴4a+2b+c＞0，选项④正确；
∵a＜0，且b=-2a，
∴3a-2a＜0，即3a+b＜0，
∴3a+2b＜b，又a-b+c=0，即c=b-a，
∴5a+2（b-a）＜b，选项⑤错误，
则正确的选项有：①③④．
故答案为：①③④．
考点梳理
二次函数图象与系数的关系．
由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴为x=1，利用对称性得到另一个交点的坐标，可得出ax2+bx+c=0的两个解为-1，3，选项①正确；由抛物线开口向下得到a小于0，对称轴在y轴右侧，得到b大于0，与y轴交点在正半轴得到c大于0，进而得到abc小于0，选项②错误，由对称轴为x=1，利用对称轴公式得到b=-2a，即2a+b=0，选项③正确；再由x=2时对应的函数值大于0，将x=2代入函数解析式得到4a+2b+c大于0，选项④正确；由a小于0，将a变形为3a-2b，将b=-2a代入，得到3a+b小于0，不等式左右两边都加上b，再将c=b-a代入，即可得到选项⑤错误，综上，得到所有正确的选项序号．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图象判断x=1，-1，2等特殊点时对应函数值的正负．
压轴题；数形结合．
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