试题

题目：
青果学院如图，已知：斜面ABC，∠C=90°，∠B=60°，BC=6，有一半径为3的小球与AB切于点A，现从斜面顶端A沿直线AB向下作无滑动的滚动，当小球刚接触到地面时，小球圆心经过的路径长为
12-
3
12-
3
．
答案
12-
3

青果学院解：连接两个圆心，连接两个圆心和切点、连接O'M（M是切点），如图，
由已知得：OO'=AN，
BM=BN，
又OM=ON，OB=OB，
∴△BO'M≌△BO'N，
∴∠MBO'=∠NBO'，
又∠B=60°，∴∠MBN=120°，
∴∠NBO'=60°，则∠BO'N=30°
在Rt△BO'N和Rt△ABC中，
BN=O'N·tan30°=3·
3
3
=
3
，
AB=
BC
cos60°
=
6
1
2
=12，
∴AN=AB-BN=12-
3
，即OO'=12-
3
，
所以小球圆心经过的路径长为：12-
3
，
故答案为：12-
3
．
考点梳理
切线的性质．
先作辅助线，连接两个圆心，连接两个圆心和切点、连接O'M（M是切点），则得到OO'=AN即小球圆心经过的路径长，则BM=BN，所以△BO'M≌△BO'N，得∠MBO'=∠NBO'，又由∠B=60°，得∠MBN=120°，所以得∠NBO'=60°，分别解两个直角三角形△ABC和△BO'N求出BN和AB，从而求得小球圆心经过的路径长．
此题考查的知识点是切线的性质，也渗透了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是由已知先证△BO'M≌△BO'N得出∠NBO'=60°，在利用两个直角三角形求出AB和BN．
几何综合题．
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