试题

题目：
青果学院（2012·盘锦）已知：如图△ABC中，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O与点F，点E在AC上，且∠EBC=
1
2
∠BAC，BE交⊙O于点D．
（1）求证：AB=AE；
（2）若AB=10，cos∠EBC=
2
5
5
，求线段BE和BC的长．
答案
（1）证明：青果学院
连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°=∠ADE，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵BC切⊙O于B，
∴∠ABD+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠BAD，
∵∠EBC=
1
2
∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中
∠ADB=∠ADE
AD=AD
∠BAD=∠EAD

∴△ABD≌△AED，
∴AB=AE．

（2）解：∵∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC=
2
5
5
，
∴在Rt△BAD中，cos∠BAD=
AD
AB
=
2
5
5
，
∴AD=4
5
，
由勾股定理得：BD=2
5
，
∵△ABD≌△AED，
∴BD=DE，
∴BE=2BD=4
5
，青果学院
过E作EH⊥BC于H，
则EH∥AB，
∵cos∠EBC=
2
5
5
，BE=4
5
，
∴BH=BE·cos∠EBC=8，
由勾股定理得：EH=
(4
5
)2-82
=6
2
，
∵EH∥AB，
∴△CHE∽△CBA，
∴
EH
AB
=
CH
CH+BH

∴
6
2
10
=
CH
CH+8
，
∴CH=
120
2
+144
7
，
∴BC=8+
120
2
+144
7
=
120
2
+200
7
．
（1）证明：青果学院
连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°=∠ADE，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵BC切⊙O于B，
∴∠ABD+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠BAD，
∵∠EBC=
1
2
∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中
∠ADB=∠ADE
AD=AD
∠BAD=∠EAD

∴△ABD≌△AED，
∴AB=AE．

（2）解：∵∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC=
2
5
5
，
∴在Rt△BAD中，cos∠BAD=
AD
AB
=
2
5
5
，
∴AD=4
5
，
由勾股定理得：BD=2
5
，
∵△ABD≌△AED，
∴BD=DE，
∴BE=2BD=4
5
，青果学院
过E作EH⊥BC于H，
则EH∥AB，
∵cos∠EBC=
2
5
5
，BE=4
5
，
∴BH=BE·cos∠EBC=8，
由勾股定理得：EH=
(4
5
)2-82
=6
2
，
∵EH∥AB，
∴△CHE∽△CBA，
∴
EH
AB
=
CH
CH+BH

∴
6
2
10
=
CH
CH+8
，
∴CH=
120
2
+144
7
，
∴BC=8+
120
2
+144
7
=
120
2
+200
7
．
考点梳理
切线的性质．
（1）连接AD，求出∠EBC=∠BAD，推出∠BAD=∠EAD，证出△ABD≌△AED即可．
（2）根据∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC=
2
5
5
求出AD，根据勾股定理求出BD，即可求出答案，求出EH，BH，根据相似求出CH，即可求出答案．
本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．
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