试题

（2013·永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为

BC

的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．

证明：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=

1

2

∠AOB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；

（2）连接OD，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D为

BC

的中点，
∴

BD

=

CD

，∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD与△COD是等边三角形，
∴OB=BD=OC=CD，
∴四边形BOCD是菱形．
证明：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=

1

2

∠AOB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；

（2）连接OD，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D为

BC

的中点，
∴

BD

=

CD

，∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD与△COD是等边三角形，
∴OB=BD=OC=CD，
∴四边形BOCD是菱形．