试题

（2009·深圳）如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC=

3

5

，求DC的长．

（1）证明：连接OC，由DC是切线得OC⊥DC；
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC．
即AC平分∠BAD．

（2）解：方法一：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB·sin∠BAC=AB·sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD=AC·sin∠DAC=AC·sin∠BEC=

24

5

．
方法二：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB·sin∠BAC=AB·sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，

DC

CB

=

AC

AB

，即

DC

6

=

8

10

，
解得DC=

24

5

．
（1）证明：连接OC，由DC是切线得OC⊥DC；
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC．
即AC平分∠BAD．

（2）解：方法一：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB·sin∠BAC=AB·sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD=AC·sin∠DAC=AC·sin∠BEC=

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．
方法二：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠BAC=∠BEC，
∴BC=AB·sin∠BAC=AB·sin∠BEC=6．
∴AC=

AB2-BC2

=8．
又∵∠DAC=∠BAC，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，

DC

CB

=

AC

AB

，即

DC

6

=

8

10

，
解得DC=

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．