试题

题目：
青果学院（2010·长沙）已知：AB是⊙O的弦，D是
AB
的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
（1）求证：AD=DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=EC，求sinC．
答案
青果学院（1）证明：连BD，
∵
BD
=
AD
，
∠A=∠ABD，
∴AD=BD；（2分）
∵∠A+∠C=90°，∠DBA+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=DC，
∴AD=DC．（4分）

（2）解：连接OD交AB于F，
∵DE为⊙O切线，
∴OD⊥DE；（5分）
∵
BD
=
AD
，OD过圆心，
∴OD⊥AB；
又∵AB⊥BC，
∴四边形FBED为矩形，
∴DE⊥BC；（6分）
又∵BD=DC，
∴BE=EC=DE，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴∠C=45°；（7分）
∴sinC=
2
2
．（8分）青果学院
青果学院（1）证明：连BD，
∵
BD
=
AD
，
∠A=∠ABD，
∴AD=BD；（2分）
∵∠A+∠C=90°，∠DBA+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=DC，
∴AD=DC．（4分）

（2）解：连接OD交AB于F，
∵DE为⊙O切线，
∴OD⊥DE；（5分）
∵
BD
=
AD
，OD过圆心，
∴OD⊥AB；
又∵AB⊥BC，
∴四边形FBED为矩形，
∴DE⊥BC；（6分）
又∵BD=DC，
∴BE=EC=DE，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴∠C=45°；（7分）
∴sinC=
2
2
．（8分）青果学院
考点梳理
切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．
（1）连接BD，根据圆周角定理求出∠A=∠ABD，即AD=BD，再根据直角三角形的性质通过等量代换即可求出△BCD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可解答．
（2）连接OD交AB于F，根据切线的性质可知OD⊥DE，由D是
AB
的中点可知AB⊥OD，四边形FBED为矩形，再根据直角三角形的性质可求出△BDC是等腰三角形，可求出BE=EC=DE，∠C=45°，再根据特殊角的三角函数值解答即可．
此类题目比较复杂，解答此类题目的关键是作出辅助线，根据切线的性质及圆周角定理解答．
计算题；证明题；压轴题．
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