试题

题目：
青果学院（2010·东莞）如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4．
（1）求∠POA的度数；
（2）计算弦AB的长．
答案
解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=
OA
OP
=
1
2
，
∴∠POA=60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA·sin60°=2×
3
2
=
3
．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2
3
．
解：（1）∵PA与⊙O相切于A点，
∴△OAP是直角三角形，
∵OA=2，OP=4，
∴cos∠POA=
OA
OP
=
1
2
，
∴∠POA=60°．

（2）∵直角三角形中∠AOC=60°，OA=2，
∴AC=OA·sin60°=2×
3
2
=
3
．
∵AB⊥OP，
∴AB=2AC=2
3
．
考点梳理
切线的性质．
（1）根据PA与⊙O相切于A点可知，OA⊥AP，再依据锐角三角函数的定义即可求出；
（2）根据直角三角形中∠AOC=60°，OA=2可求出AC的长，再根据垂径定理即可求出弦AB的长．
本题考查了圆的切线性质，及三角函数的定义及特殊角的三角函数值．
压轴题．
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