试题

（2010·株洲）如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC=30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D．
求证：（1）∠CAB=∠BOD；
（2）△ABC≌△ODB．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
又OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠CAB=∠BOD．

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=

1

2

AB，
又OB=

1

2

AB，
∴AC=OB，
由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°，
在△ABC和△ODB中，
∴△ABC≌△ODB．
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
又OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠CAB=∠BOD．

（2）在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=

1

2

AB，
又OB=

1

2

AB，
∴AC=OB，
由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°，
在△ABC和△ODB中，
∴△ABC≌△ODB．