试题

（2010·遵义）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．
（1）当AC=2时，求⊙O的半径；
（2）设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．

解：（1）连接OE，OD，
在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD=

AD

OD

=

2-OD

OD

=

1

3

，解得OD=

3

2

，
∴圆的半径为

3

2

；

（2）∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB=

AC

BC

=

x

8-x

，
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=

AC

BC

=

AD

OD

=

x-y

y

，
解得y=-

1

8

x²+x．
解：（1）连接OE，OD，
在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD=

AD

OD

=

2-OD

OD

=

1

3

，解得OD=

3

2

，
∴圆的半径为

3

2

；

（2）∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB=

AC

BC

=

x

8-x

，
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=

AC

BC

=

AD

OD

=

x-y

y

，
解得y=-

1

8

x²+x．