试题

（2011·济宁）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．
（1）求证：OD∥BE；
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．

解：（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又∵OD=OD，
在△AOD和△EOD中，

DA=DE OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，
∵∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE；

（2）OF=

1

2

CD．
理由：连接OC，
∵BC、CE是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OCF，
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，
即∠EDO+∠OCE=90°，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，
∴OF=

1

2

CD．
解：（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又∵OD=OD，
在△AOD和△EOD中，

DA=DE OD=OD

，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，
∵∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE；

（2）OF=

1

2

CD．
理由：连接OC，
∵BC、CE是⊙O的切线，
∴∠OCB=∠OCF，
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，
即∠EDO+∠OCE=90°，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中点，
∴OF=

1

2

CD．