试题

题目：
青果学院如图：水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积（球的表面积公式S=4πR2），用锐角∠BAC=60°的直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=1m，则球的表面积等于
12π
12π
．
答案
12π

青果学院解：连接OA，∵AB与AD都为圆O的切线，
∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，
∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，
∵PA、AD都是⊙O的切线，
∴∠OAP=
1
2
∠PAD=60°，
在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=
OP
AP
，
则OP=APtan60°=
3
cm，即⊙O的半径R为
3
cm．
则球的表面积S=4πR2=4π·(
3
)2=12π．
故答案为：12π
考点梳理
切线的性质．
连接OA，由AP与AD为圆O的切线，根据切线性质得到∠OPA与∠ODA都为直角，由∠BAC=60°，根据平角定义得到∠PAD为120°，再根据切线长定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根据锐角三角函数定义得出OP=APtan60°，进而求出OP的长，即为半径R，代入球的表面积公式即可求出．
此题考查了切线的性质，切线长定理，以及锐角三角函数，见了有切线，圆心切点连，构造直角三角形解决问题，其中切线长定理为：经过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且此点与圆心地连线平分两切线的夹角，灵活运用此定理是本题的突破点．
综合题．
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