试题

题目：
青果学院（1998·宣武区）已知：如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的⊙O，且AB=AD，延长CB、DA，交于P点，CE与⊙O相切于点C，CE与PD的延长线交于点E．当PB=OC，CD=18时，求DE的长．
答案
解：如图，连接OA、BD，OA与BD交于F点，青果学院
∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴OA⊥BD，BF=DF，
而OB=OC，
∴OF=
1
2
DC=9，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴OA∥DC，
∴△PAO∽△PDC，
∴
PO
PC
=
OA
DC
=
PA
PD
，
∵PB=OC，CD=18，
∴
2OB
3OB
=
OA
18
=
PA
PD
，解得OA=12，PA=
2
3
PD，即PD=3AD，
∴AF=12-9=3，
在Rt△OAF中，BF=
122-92
=3
7
，
在Rt△ABF中，AB=
BF2+AF2
=6
2
，
∴PD=3×6
2
=18
2
，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥PC，EC2=DE·EA，
在Rt△PCE中，EC2=PE2-PC2，
∴DE·EA=PE2-PC2，即DE（DE+6
2
）=（18
2
+DE）2-362，
∴DE=
54
2
5
．
解：如图，连接OA、BD，OA与BD交于F点，青果学院
∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴OA⊥BD，BF=DF，
而OB=OC，
∴OF=
1
2
DC=9，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴OA∥DC，
∴△PAO∽△PDC，
∴
PO
PC
=
OA
DC
=
PA
PD
，
∵PB=OC，CD=18，
∴
2OB
3OB
=
OA
18
=
PA
PD
，解得OA=12，PA=
2
3
PD，即PD=3AD，
∴AF=12-9=3，
在Rt△OAF中，BF=
122-92
=3
7
，
在Rt△ABF中，AB=
BF2+AF2
=6
2
，
∴PD=3×6
2
=18
2
，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥PC，EC2=DE·EA，
在Rt△PCE中，EC2=PE2-PC2，
∴DE·EA=PE2-PC2，即DE（DE+6
2
）=（18
2
+DE）2-362，
∴DE=
54
2
5
．
考点梳理
切线的性质．
连接OA、BD，OA与BD交于F点，根据垂径定理由AB=AD得到OA⊥BD，BF=DF，则OF=
1
2
DC=9，根据圆周角定理的推论由BC为⊙O的直径得到∠BDC=90°，则OA∥DC，得到△PAO∽△PDC，根据相似比可得到得OA=12，PA=
2
3
PD，即PD=3AD，再根据勾股定理计算出BF=3
7
，AB=6
2
，则PD=18
2
，然后根据切线的性质和切割线定理得到CE⊥PC，EC2=DE·EA，再利用勾股定理得EC2=PE2-PC2，于是得到关于DE的方程DE（DE+6
2
）=（18
2
+DE）2-362，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、三角形相似的判定与性质以及切割线定理．
计算题．
找相似题