试题

（1999·西安）A是⊙O的直径EF上的一点，半径OB⊥EF，BA的延长线与⊙O相交于另一点C，若

EC

=

1

5

CF

．
（1）求∠B的度数；
（2）过C作⊙O的切线CD和OA的延长线交于点D．求证：AC=CD=AD．

（1）解：连接CO，
∵

EC

=

1

5

CF

，

EF

是半圆，
∴

EC

=

1

6

EF

=30°
∴∠EOC=3O°．
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO．
∴∠B=

1

2

（90°-∠EOC）
=

1

2

（90°-30°）
=30°．（4分）

（2）证明：∵∠DAC=∠BAO=90°-∠B=60°，
∠DCA=90°-∠OCA，
∠OBA=∠OCA=30°，
∴∠DAC=∠DCA=60°．
于是∠CDA=60°．（8分）
∴△ACD是等边三角形．
即AC=CD=AD．（10分）
（1）解：连接CO，
∵

EC

=

1

5

CF

，

EF

是半圆，
∴

EC

=

1

6

EF

=30°
∴∠EOC=3O°．
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO．
∴∠B=

1

2

（90°-∠EOC）
=

1

2

（90°-30°）
=30°．（4分）

（2）证明：∵∠DAC=∠BAO=90°-∠B=60°，
∠DCA=90°-∠OCA，
∠OBA=∠OCA=30°，
∴∠DAC=∠DCA=60°．
于是∠CDA=60°．（8分）
∴△ACD是等边三角形．
即AC=CD=AD．（10分）