试题

（2009·同安区模拟）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，过点P作⊙O的切线PD交AC于D．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若∠BAC=120°，BC=4

3

，求⊙O的半径长．

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
而AB=AC，
∴PB=PC，
而OB=OA，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP∥AC，
又∵DP是⊙O的切线，
∴OP⊥DP，
∴PD⊥AC；

（2）解：∵AP⊥BC，AB=AC，
∴AP平分∠BAC，
∴∠BAP=

1

2

∠BAC=60°，
而BC=4

3

，
∴PB=2

3

，
在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，
∴PB=

3

AP，
∴AP=2，
∴AB=2AP=4，
∴⊙O的半径长为2．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
而AB=AC，
∴PB=PC，
而OB=OA，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP∥AC，
又∵DP是⊙O的切线，
∴OP⊥DP，
∴PD⊥AC；

（2）解：∵AP⊥BC，AB=AC，
∴AP平分∠BAC，
∴∠BAP=

1

2

∠BAC=60°，
而BC=4

3

，
∴PB=2

3

，
在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，
∴PB=

3

AP，
∴AP=2，
∴AB=2AP=4，
∴⊙O的半径长为2．