试题

题目：
青果学院（2013·普陀区模拟）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且DC=2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E所对应的量角器上的度数是
60°
60°
（只要求写出一个角的度数）．
答案
60°

青果学院解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°，即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC=∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO=90°，
∵在Rt△AOE和Rt△AOC中，
AO=AO
OE=OC
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE=∠AOC=60°，
∴∠EOD=180°-∠AOE-∠AOC=60°．
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°．
故答案为：60．
考点梳理
切线的性质．
首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°，又由AE是切线，易证得Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案．
此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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