试题

题目：
青果学院（2004·天津）如图，已知两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，若∠BCD=30°，则∠M等于
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度．
答案
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青果学院解：如图，连接BD，O1C，O1B，O2B，O2D，
∵MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，
∴∠O1CM=∠O2DM=90°；
∵⊙O1与⊙O2是等圆，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠BCD=30°，
∴∠CBD=120°，BC=BD，
∴△O1BC≌△O2BD，∠O1CB=∠O2DB，
∴∠O1CM+∠O2DM=∠BCM+∠BDM=180°，
∴∠M=180-∠CBD=60°．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理．
连接BD，O1C，O1B，O2B，O2D，根据切线的性质可以得到∠O1CM=∠O2DM=90°；由于圆O1与圆O2是等圆，而∠BCD=30°，由此可以推出∠CDB=∠BCD=30°；然后可以得到∠CBD=120°，BC=BD，再利用已知条件证明△O1BC≌△O2BD，由此得到∠O1CB=∠O2DB，进而得到∠O1CM+∠O2DM=∠BCM+∠BDM=180°，最后即可求出∠M的度数．
本题主要利用了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等角对等边，四边形的内角和等知识，有一定的综合性，对学生的分析问题的能力要求比较高．
压轴题．
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