试题

如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0）点N（0，6），点P以每秒3个单位长度的速度沿NO由N向O运动，点Q以每秒5个单位长度的速度沿MN由M向N运动．已知点P，Q同时出发，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形PQMO为梯形时，求t的值；
（2）当△PQO为等腰三角形时，求t的值；
（3）在整个运动中，以PQ为直径的圆能否与x轴相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．

解：（1）当PQ∥OM时，四边形PQMO为梯形
此时有

NP

NO

=

NQ

NM

，
即

3t

6

=

10-5t

10

，
解得：t=1，
所以，当t=1秒时，四边形PQMO为梯形．


（2）P点的坐标为（0，6-3t），
Q点的坐标为（8-4t，3t），
△PQO为等腰三角形；
当PO=OQ时，作OH⊥x轴于点H，
在Rt△OQH中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（3t）²，
此时方程无实数根，故此种情况不存在；
当PQ=OQ时，此时Q在OP的垂直平分线上，
所以P点的纵坐标是Q点纵坐标的2倍，
即有6-3t=2×3t，
解得t=

2

3

，
当t=

2

3

秒时，△PQO为等腰三角形；
当PO=PQ时，作QG⊥y轴于点G．
在Rt△PGQ中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
此时方程无实数根，故此种情况不存在．


（3）若以PQ为直径的⊙A与x轴相切点T，连接AT，作QB⊥x轴于点B，
则AT=R=

1

2

（OP+QB）=

1

2

PQ，
即OP+QB=PQ，
所以[（6-3t）+3t]²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
解得：t₁=

8

13

，t₂=2，
所以当t₁=

8

13

，t₂=2时，以PQ为直径的圆与x轴相切．

解：（1）当PQ∥OM时，四边形PQMO为梯形
此时有

NP

NO

=

NQ

NM

，
即

3t

6

=

10-5t

10

，
解得：t=1，
所以，当t=1秒时，四边形PQMO为梯形．


（2）P点的坐标为（0，6-3t），
Q点的坐标为（8-4t，3t），
△PQO为等腰三角形；
当PO=OQ时，作OH⊥x轴于点H，
在Rt△OQH中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（3t）²，
此时方程无实数根，故此种情况不存在；
当PQ=OQ时，此时Q在OP的垂直平分线上，
所以P点的纵坐标是Q点纵坐标的2倍，
即有6-3t=2×3t，
解得t=

2

3

，
当t=

2

3

秒时，△PQO为等腰三角形；
当PO=PQ时，作QG⊥y轴于点G．
在Rt△PGQ中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
此时方程无实数根，故此种情况不存在．


（3）若以PQ为直径的⊙A与x轴相切点T，连接AT，作QB⊥x轴于点B，
则AT=R=

1

2

（OP+QB）=

1

2

PQ，
即OP+QB=PQ，
所以[（6-3t）+3t]²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
解得：t₁=

8

13

，t₂=2，
所以当t₁=

8

13

，t₂=2时，以PQ为直径的圆与x轴相切．