试题

如图1，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在

BC

上运动（不与点B、C重合），过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E，连接AD、CD
（1）在图1中，求证：∠CDE=∠DAB；
（2）如图2，①当点D运动到什么位置时DE与⊙O相切？并证明你的结论；
②在①的条件下，求△ACD的面积．

（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠CDE，
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠CDE=∠DAB；

（2）①当点D运动到

BC

的中点时，DE与⊙O相切．
证明：∵点D运动到

BC

的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

②连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=

1

3

×360°=120°，∠ACB=60°，
∴∠BOD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵∠DAC=

1

2

∠BAC=30°，
∴CD=AC·tan30°=6×

3

3

=2

3

，
∴S_△ACD=

1

2

AC·CD=

1

2

×6×2

3

=6

3

．
（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠CDE，
∵∠DAB=∠BCD，
∴∠CDE=∠DAB；

（2）①当点D运动到

BC

的中点时，DE与⊙O相切．
证明：∵点D运动到

BC

的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

②连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=

1

3

×360°=120°，∠ACB=60°，
∴∠BOD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵∠DAC=

1

2

∠BAC=30°，
∴CD=AC·tan30°=6×

3

3

=2

3

，
∴S_△ACD=

1

2

AC·CD=

1

2

×6×2

3

=6

3

．