试题

已知：如图，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，AB是⊙O的直径，连OC交⊙O于E，连ED、EB．
（1）试猜想∠ACD与∠BED的数量关系？并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为5，ED=2

5

，求sin∠BED的值．

（1）答：∠ACD与∠BED的数量关系是∠ACD=2∠BED，
证明：连接OD，
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴∠ACD+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠ACD=∠BOD，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠BED，
∴∠ACD=2∠BED．

（2）解：连接AD交CO于M，
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴AC=CD，∠ACO=∠DCO=

1

2

∠ACD，
∵∠ACD=2∠BED，
∴∠BED=∠DCO，
∵AC=CD，∠ACO=∠DCO，
∴CO⊥AD，
∴∠DMO=90°=∠CDO，
∴∠DCO+∠DOM=90°，∠ODM+∠DOM=90°，
∴∠ODM=∠DCO=∠BED，
设OM=x，则EM=5-x，
由勾股定理得：DM²=（2

5

）²-（5-x）²=5²-x²，
x=3，
在Rt△OMD中，sin∠BED=sin∠ODM=

OM

OD

=

3

5

．
（1）答：∠ACD与∠BED的数量关系是∠ACD=2∠BED，
证明：连接OD，
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴∠ACD+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠ACD=∠BOD，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠BED，
∴∠ACD=2∠BED．

（2）解：连接AD交CO于M，
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴AC=CD，∠ACO=∠DCO=

1

2

∠ACD，
∵∠ACD=2∠BED，
∴∠BED=∠DCO，
∵AC=CD，∠ACO=∠DCO，
∴CO⊥AD，
∴∠DMO=90°=∠CDO，
∴∠DCO+∠DOM=90°，∠ODM+∠DOM=90°，
∴∠ODM=∠DCO=∠BED，
设OM=x，则EM=5-x，
由勾股定理得：DM²=（2

5

）²-（5-x）²=5²-x²，
x=3，
在Rt△OMD中，sin∠BED=sin∠ODM=

OM

OD

=

3

5

．