试题

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C点．AD交于⊙O点E．
（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明；
（2）当AD⊥CD，AD=4，AB=5时，求AC、DE的长度．

解：（1）AC是∠BAD的平分线时，AD⊥CD，
证明：连接BC，
则∠ACB=90°，即∠B+∠BAC=90°，
∵CD是圆O的切线，
∴∠ACD=∠B，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
即∠D=90°，AD⊥CD；

（2）由（1）可知：∠BAC=∠CAD，
∵∠ACB=∠D=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AD·AB=20；
解得AC=2

5

，
直角三角形ACD中，
根据勾股定理可得CD=2，
根据CD是圆的切线可得：CD²=AD·DE，即DE=CD²÷AD=4÷4=1．
解：（1）AC是∠BAD的平分线时，AD⊥CD，
证明：连接BC，
则∠ACB=90°，即∠B+∠BAC=90°，
∵CD是圆O的切线，
∴∠ACD=∠B，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
即∠D=90°，AD⊥CD；

（2）由（1）可知：∠BAC=∠CAD，
∵∠ACB=∠D=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AD·AB=20；
解得AC=2

5

，
直角三角形ACD中，
根据勾股定理可得CD=2，
根据CD是圆的切线可得：CD²=AD·DE，即DE=CD²÷AD=4÷4=1．