试题

题目：
青果学院（2010·金华）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是
EF
上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若
BG
BM
=3，则BK=
1
3
，
5
3
1
3
，
5
3
．
答案
1
3
，
5
3

解：（1）若OP的延长线与射线AB的延长线相交，设交点为H．如图1，青果学院
∵MG与⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵
BG
BM
=3，
∴tan∠BHK=
1
3
．
∴AH=3AO=3×1=3，
BH=3BK．
∵AB=2，
∴BH=1，
∴BK=
1
3
．青果学院

（2）若OP的延长线与射线DC的延长线相交，设交点为H．如图2，
同理可求得BK=
5
3
．

综上所述，本题应填
1
3
，
5
3
．
考点梳理
切线的性质．
根据MG与⊙O相切得OK⊥MG．设直线OK交AB的延长线于点H，易证∠MGB=∠BHK．根据三角函数定义，tan∠MGB=tan∠BHK=
BM
BG
=
1
3
，从而有AH=3，BH=3BK．因为AB=2，所以BH=1，可求BK．
P为动点，当P接近F点时，本题另有一个解．
此题考查了切线的性质及三角函数等知识点，综合性强，难度较大．
本题需要特别注意有2个解，不要漏解．
压轴题；动点型．
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