试题

题目:
青果学院初三某班在庆祝申奥成功的活动中,制作某种喜庆用品需将一张半径为2的半圆形纸板沿它的一条弦折叠,使得弧与直径相切,如图所示,如果切点分直径为3:1两部分,则折痕长为(  )



答案
B
解:过O作弦BC的垂线OP,垂足为D,分别与弧的交点为A、G,过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点,如图,青果学院
∵OP⊥BC,
∴BD=DC,即OP为BC的中垂线,
∴OP必过弧BGC所在圆的圆心,
又∵OE为弧BGC所在圆的切线,PF⊥OE,
∴PF必过弧BGC所在圆的圆心,
∴点P为弧BGC所在圆的圆心,
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC,
∴⊙P为半径等于⊙O的半径,即PF=PG=OE=2,并且AD=GD,
∴OG=AP,
而F点分⊙O的直径为3:1两部分,
∴OF=1,
在Rt△OPF中,设OG=x,则OP=x+2,
∴OP2=OF2+PF2,即(x+2)2=12+22,解得x=
5
-2,
∴AG=2-(
5
-2)=4-
5

∴DG=
4-
5
2
=2-
5
2

∴OD=OG+DG=
5
-2+2-
5
2
=
5
2

在Rt△OBD中,BD2=OB2-OD2,即BD2=22-(
5
2
2
∴BD=
11
2

∴BC=2BD=
11

故选B.
考点梳理
翻折变换(折叠问题);垂径定理;切线的性质.
过O作弦BC的垂线OP,垂足为D,分别与弧的交点为A、G,过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点,根据垂径定理及其推论得到BD=DC,即OP为BC的中垂线,OP必过弧BGC所在圆的圆心,再根据切线的性质得到PF必过弧BGC所在圆的圆心,则点P为弧BGC所在圆的圆心,根据折叠的性质有⊙P为半径等于⊙O的半径,即PF=PG=OE=2,并且AD=GD,由F点分⊙O的直径为3:1两部分可计算出OF=1,在Rt△OPF中,设OG=x,利用勾股定理可计算出x,则由AG=PG-AP计算出AG,可得到DG的长,于是可计算出OD的长,在Rt△OBD中,利用勾股定理计算BD,即可得到BC的长.
本题考查了折叠的性质:折叠后两图形全等,即对应线段相等,对应角相等.也考查了垂径定理、切线的性质以及勾股定理.
计算题.
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