翻折变换(折叠问题);垂径定理;切线的性质.
过O作弦BC的垂线OP,垂足为D,分别与弧的交点为A、G,过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点,根据垂径定理及其推论得到BD=DC,即OP为BC的中垂线,OP必过弧BGC所在圆的圆心,再根据切线的性质得到PF必过弧BGC所在圆的圆心,则点P为弧BGC所在圆的圆心,根据折叠的性质有⊙P为半径等于⊙O的半径,即PF=PG=OE=2,并且AD=GD,由F点分⊙O的直径为3:1两部分可计算出OF=1,在Rt△OPF中,设OG=x,利用勾股定理可计算出x,则由AG=PG-AP计算出AG,可得到DG的长,于是可计算出OD的长,在Rt△OBD中,利用勾股定理计算BD,即可得到BC的长.
本题考查了折叠的性质:折叠后两图形全等,即对应线段相等,对应角相等.也考查了垂径定理、切线的性质以及勾股定理.
计算题.