试题

如图，在以O为圆心、半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°．
（1）当∠CBD等于多少度时，直线BD与⊙O相切？
（2）求弦AB的长．

解：（1）连接OB，OC，
∵OB=OC=BC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴当∠CBD=30°时，∠OBD=∠OBC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，则直线BD与⊙O相切；
∴当∠CBD等于30°时，直线BD与⊙O相切；

（2）过点C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=45°，BC=2，
∴BE=CE=BC·sin45°=

2

，
由（1）可得∠A=

1

2

∠BOC=30°，
∴AE=

CE

tan∠A

=

2

3 3

=

6

，
∴AB=AE+BE=

6

+

2

．
解：（1）连接OB，OC，
∵OB=OC=BC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴当∠CBD=30°时，∠OBD=∠OBC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，则直线BD与⊙O相切；
∴当∠CBD等于30°时，直线BD与⊙O相切；

（2）过点C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=45°，BC=2，
∴BE=CE=BC·sin45°=

2

，
由（1）可得∠A=

1

2

∠BOC=30°，
∴AE=

CE

tan∠A

=

2

3 3

=

6

，
∴AB=AE+BE=

6

+

2

．